球面上の距離 - KrdLab's blog

昨日は，Google Maps APIを利用して学会マップなるものを作成しました．
今日は，マップ上の任意の2点間の距離を計算する方法を考えてみました．

Google Maps APIでは，マップ上における"click"イベントを捕まえることで，任意の地点の経度，緯度情報を取得することができます．
そこで，経度，緯度情報から球面上の弧の距離を計算する方法を考えてみました．

経度とは，ロンドンの旧グリニッジ天文台を基点に±180°で等間隔に割り当てられています（参照：経度 - Wikipedia）．
緯度とは，赤道を基点に±90°で等間隔に割り当てられています（参照：緯度 - Wikipedia）．

経度を $\alpha$ ，緯度を $\beta$ ，地球の半径をrとし，地球の中心を原点とした極座標系を考えます．
ここから，直交座標系におけるx，y，zをそれぞれ計算すると，

$x = r\cos\alpha\cos\beta$
$y = r\sin\alpha\cos\beta$
$z = r\sin\beta$

となります．
これにより，任意の2点間の直線距離が求められます．
しかし，これは球面上の距離ではありません．

ここで，第2余弦定理（参照：余弦定理 - Wikipedia）により，原点から任意の2点へ引いた2本の直線（地球の中心から引くので長さrの線）に挟まれた角度θが，

任意の2点間の直線距離をdとし，
$d^2 = r^2 + r^2 - 2r^2\cos\theta$ より，
$\cos\theta = 1 - \displaystyle \frac{d^2}{2r^2}$
とあらわされます．

これにより，地球上の2点と，地球の中心とが成す角度 $\theta$ が求められます．

以上から，任意の2点間の球面上における距離 $l$ は，
$l = r\theta$
となります．
（あってるかな？）

実際には，

$x = \cos\alpha\cos\beta$
$y = \sin\alpha\cos\beta$
$z = \sin\beta$

のように，rを乗ずることなく計算しておき，

$\cos\theta = 1 - \displaystyle \frac{d^2}{2}$

とすることで，はじめのものよりも，小数点以下の精度を幾分か高く保持することができます．

Webを探してみると，以下のような計算式も見つかりました（参照：）．

球面三角法の公式から，
経度：x1，x2
緯度：y1，y2
とすると，
cosθ=cos(y1)*cos(y2)*cos(x1-x2) + sin(y1)*sin(y2)
（ただし，θ(rad)）
2点間の距離=6369(km)*θ
により求められる．

どちらの方法で求めても，結果は同じになります．
~~出来上がったもの→~~